BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A.   
 Teori Bilangan

Teori
bilangan (number theory) adalah bagian dari matematika murni yang khusus
mempelajari bilangan bulat. Para pakar teori bilangan atau yang disebut juga
sebagai number theorist mempelajari bilangan prima (yang bila dikalikan,
menghasilkan seluruh bilangan bulat) dan sifat-sifat dari bilangan yang
dihasilkan dari bilangan bulat itu sendiri, seperti bilangan rasional. Dulu,
istilah teori bilangan lebih dikenal sebagai aritmatika. Lalu pada awal abad
20, namanya berubah menjadi teori bilangan. Aritmatika sendiri sering diartikan
sebagai “perhitungan dasar” pada masyarakat umum, sebagai “aritmatika Peano”
dalam logika matematika, dan sebagai bilangan titik mengambang (floating
arithmetic) dalam ilmu komputer. (Renaldi Munir: 2004).

B.    
Aritmatika
Modulo

Aritmatika modulo adalah suatu metode dalam ilmu
matematika yang menyatakan suatu sisa, suatu integer jika dibagi dengan integer
yang lain. Atau bisa juga dikatakan modulo adalah sebagai operasi bilangan yang
menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan yang laainnya.
Aritmatika modulo juga memainkan peran yang penting dalam komputasi interger,
khususnya pada aplikasi kriptografi. Operator yang digunakan pada aritmatika
modulo adalah mod. Operator mod jika
digunakan pada pembagian bilangan bulat memberikan sisa sebagai kembaliannya. Misalkan
a dan m bilangan bulat dengan m > 0. Operasi a modulo m atau a mod m. Akan
memberikan sisa pembagian jika a dibagi m.dengan kata lain:

a
mod m = r sedemikian sehingga

a = mq + r, dengan 0 ? r < m m disebut modulo atau modulus, dan hasil aritmatika modulo m terletak didalam himpunan {0, 1, 2, 3, . . ., m-1} (ayu sasmita: 2016). Didalam aritmatika modulo ada juga dua unsur lain yang menjadi bagian dari modulo, yaitu kongruen modulo dan balikan modulo atau modulo invers. C.    Pasaran Jawa Masyarakat jawa memiliki perhitungan yang dapat meramalkan suatu hajatan seperti pernikahan, selamatan kematian, kelahiran dan pindah rumah.Untuk menentukan hari dan pasarannya pada peristiwa-peristiwa tersebut, masyarakat Jawa menggunakan istilah petungan (perhitungan). Perhitungan ini dilakukan dengan cara menjumlahkan neptu hari, pasaran, dan penanggal dalam tahun jawa, kemudian membaginya dengan angka tertentu sehingga terdapat sisa dan sisa inilah yang dijadikan patokan dari ramalan tersebut. Dan yang akan kita bahas disini mengenai Pasaran. (Uswatun Ni'mah: 2016) Pasaran adalah Kepandaian orang jawa dalam meramal dengan melalui perhitungan-perhitungan jawa yang telah dikenal sejak dahulu dengan berdasarkan kalender jawa dan kalender harian yang dibuat oleh Pemerintah. Hitungan Pasaran berjumlah lima. Menurut kepercayaan jawa adalah sejalan dengan ajaran "Sedulur papat, kalima pancer" empat saudara sekelahiran, kelimanya pusat. Ajaran ini mengandung pengertian bahwa badan manusia yang berupa raga, wadag, atau jasad lahir bersama empat unsur atau roh yang berasal dari, tanah, air, api dan udara. Empat unsur itu masing-masing mempunyai tempat di kiblat empat. Faktor yang kelima bertempat di pusat, yakni di tengah. Lima tempat itu adalah juga tempat lima pasaran, maka persamaan tempat pasaran dan empat unsur dan kelimanya pusat itu adalah sebagai berikut : 1. Pasaran Legi bertempat di timur, satu tempat dengan unsur udara, memancarkan sinar ( aura ) putih. 2. Pasaran Paing bertempat di selatan, salah satu tempat dengan unsur Api, memancarkan sinar merah. 3. Pasaran Pon bertempat di barat, satu temapt dengan unsur air, memancarakan sinar kuning. 4. Pasaran Wage bertempat di utara, satu tempat dengan unsur tanah, memancarkan sinar hitam 5. Kelima di pusat atau di tengah, adalah tempat Sukma atau Jiwa, memancarkan sinar manca warna ( bermacam-macam ) Dari ajaran sadulur papat, kalima pancer dapat diketahui betapa pentingnya Pasaran Kliwon yang tempatnya ditengah atau pusat ( sentrum ) tengah atau pusat itu tempat jiwa atau sukma yang memancarkan daya – perbawa atau pengaruh kepada " Sadulu Papat atau Empat Saudara ( unsur ) sekelahiran. (Walisongo: 2011)                             BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN   A.    Penerapan Aritmatika Modulo Dalam Perhitungan Pasaran Jawa Matematika sebagai ilmu dasar perlu mengkaji dan menelaah dasar-dasar ilmu hitung atau komputasi yang diterapkan dalam masyarakat untuk memperkaya pengembangan matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, sebagian besar masyarakat sering tidak menyadari telah menerapkan ilmu matematika. Sebagian besar masyarakat berpandangan bahwa matematika merupakan pelajaran yang diperoleh di sekolah. Padahal matematika sering digunakan dalam berbagai aspek kehidupan, misalnya dalam mengukur, menghitung, mengurutkan bilangan, beberapa kegiatan jual beli atau bahkan bisa digunakan untuk menghitung pasaran kelahiran seseorang. (Davit Setiadi : 2017) Pasaran adalah Kepandaian orang jawa dalam meramal dengan melalui perhitungan-perhitungan jawa yang telah dikenal sejak dahulu dengan berdasarkan kalender jawa dan kalender harian yang dibuat oleh Pemerintah. (Walisongo: 2011)  Dalam kebudayaan jawa pasaran sangat berpengaruh dalam kehidupan sehari-hari. Terdapat beberapa kegunaan pasaran diantaranya adalah sebagai hitungan dalam mencari hari baik saat akan melangsungkan pernikahan, untuk membangun rumah, pindah rumah atau untuk menentukan waktu khitanan. Pasaran dapat diketahui dari tanggal lahir seseorang. (Davit Setiadi : 2017) Dibawah ini merupakan tabel yang digunakan untuk menghitung pasaran seseorang. Bulan Tahun (Biasa/Kabisat) Bulan Tahun (Biasa/Kabisat) Januari 0/1 Juli 4 Februari 4/0 Agustus 3 Maret 1 September 2 April 0 Oktober 2 Mei 0 November 1 Juni 4 Desember 1 Tabel 1.1. Nama Bulan Sisa Pasaran Sisa Pasaran 0 Legi 3 Wage 1 Pahing 4 Kliwon 2 Pon     Tabel 1.2 Nama Pasaran L + M – B = S (mod 5) Rumus ketetapan:     Keterangan: L = jumlah tahun kabisat dalam satu abad yang bersangkutan di bagi 4 M = tanggal yang akan dicari pasarannya B = harga bulan untuk menentukan pasaran (Lihat tabel 1.1) S = sisa pembagian modulo 5 (Lihat tabel 1.2). (Walisongo: 2011) Contoh: 1.      Tentukan pasaran kemerdekaan RI tahun 1945? Jawab: L = (45 : 4) = 11,25 = 11 (pembulatan terkecil) M = tanggal = 17 B = harga bulan = 3 Maka: L + M – B = 11 + 17 – 3 = 25 (mod 5) Dimisalkan, a = 25 dan m = 5, dengan a = qm + r Maka, 25 = 5q + r, nilai terdekat perkalian 5 dari 25 adalah 5, sehingga q = 5. Diperoleh 25 = 5 x 5 + 0. Jadi diketahui, sisa dari 25 (mod 5) = 0. Karena S = 0, dapat diketahui bahwa pasaran kemerdekaan RI 1945 jatuh pada pasaran Legi. 2.      Tentukan pasaran kelahiran Adi pada tanggal 19 Mei 1996? Jawab: L = (96 : 4) = 24 M = tanggal = 19 B = harga bulan = 0 Maka: L + M – B = 24 + 19 – 0 = 43 = S (mod 5) Dimisalkan, a = 43 dan m = 5, dengan a = qm + r Maka, 25 = 5q + r, nilai terdekat perkalian 5 dari 43 adalah 8, sehingga q = 8. Diperoleh 25 = 5 x 8 + 3. Jadi diketahui, sisa dari 43(mod 5) = 3 Karena S = 3, dapat diketahui bahwa pasaran kelahiran Adi jatuh pada pasaran Wage. BAB II KAJIAN PUSTAKA A.     Teori Bilangan Teori bilangan (number theory) adalah bagian dari matematika murni yang khusus mempelajari bilangan bulat. Para pakar teori bilangan atau yang disebut juga sebagai number theorist mempelajari bilangan prima (yang bila dikalikan, menghasilkan seluruh bilangan bulat) dan sifat-sifat dari bilangan yang dihasilkan dari bilangan bulat itu sendiri, seperti bilangan rasional. Dulu, istilah teori bilangan lebih dikenal sebagai aritmatika. Lalu pada awal abad 20, namanya berubah menjadi teori bilangan. Aritmatika sendiri sering diartikan sebagai "perhitungan dasar" pada masyarakat umum, sebagai "aritmatika Peano" dalam logika matematika, dan sebagai bilangan titik mengambang (floating arithmetic) dalam ilmu komputer. (Renaldi Munir: 2004). B.     Aritmatika Modulo Aritmatika modulo adalah suatu metode dalam ilmu matematika yang menyatakan suatu sisa, suatu integer jika dibagi dengan integer yang lain. Atau bisa juga dikatakan modulo adalah sebagai operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan yang laainnya. Aritmatika modulo juga memainkan peran yang penting dalam komputasi interger, khususnya pada aplikasi kriptografi. Operator yang digunakan pada aritmatika modulo adalah mod. Operator mod jika digunakan pada pembagian bilangan bulat memberikan sisa sebagai kembaliannya. Misalkan a dan m bilangan bulat dengan m > 0. Operasi a modulo m atau a mod m. Akan
memberikan sisa pembagian jika a dibagi m.dengan kata lain:

a
mod m = r sedemikian sehingga

a = mq + r, dengan 0 ? r < m m disebut modulo atau modulus, dan hasil aritmatika modulo m terletak didalam himpunan {0, 1, 2, 3, . . ., m-1} (ayu sasmita: 2016). Didalam aritmatika modulo ada juga dua unsur lain yang menjadi bagian dari modulo, yaitu kongruen modulo dan balikan modulo atau modulo invers. C.    Pasaran Jawa Masyarakat jawa memiliki perhitungan yang dapat meramalkan suatu hajatan seperti pernikahan, selamatan kematian, kelahiran dan pindah rumah.Untuk menentukan hari dan pasarannya pada peristiwa-peristiwa tersebut, masyarakat Jawa menggunakan istilah petungan (perhitungan). Perhitungan ini dilakukan dengan cara menjumlahkan neptu hari, pasaran, dan penanggal dalam tahun jawa, kemudian membaginya dengan angka tertentu sehingga terdapat sisa dan sisa inilah yang dijadikan patokan dari ramalan tersebut. Dan yang akan kita bahas disini mengenai Pasaran. (Uswatun Ni'mah: 2016) Pasaran adalah Kepandaian orang jawa dalam meramal dengan melalui perhitungan-perhitungan jawa yang telah dikenal sejak dahulu dengan berdasarkan kalender jawa dan kalender harian yang dibuat oleh Pemerintah. Hitungan Pasaran berjumlah lima. Menurut kepercayaan jawa adalah sejalan dengan ajaran "Sedulur papat, kalima pancer" empat saudara sekelahiran, kelimanya pusat. Ajaran ini mengandung pengertian bahwa badan manusia yang berupa raga, wadag, atau jasad lahir bersama empat unsur atau roh yang berasal dari, tanah, air, api dan udara. Empat unsur itu masing-masing mempunyai tempat di kiblat empat. Faktor yang kelima bertempat di pusat, yakni di tengah. Lima tempat itu adalah juga tempat lima pasaran, maka persamaan tempat pasaran dan empat unsur dan kelimanya pusat itu adalah sebagai berikut : 1. Pasaran Legi bertempat di timur, satu tempat dengan unsur udara, memancarkan sinar ( aura ) putih. 2. Pasaran Paing bertempat di selatan, salah satu tempat dengan unsur Api, memancarkan sinar merah. 3. Pasaran Pon bertempat di barat, satu temapt dengan unsur air, memancarakan sinar kuning. 4. Pasaran Wage bertempat di utara, satu tempat dengan unsur tanah, memancarkan sinar hitam 5. Kelima di pusat atau di tengah, adalah tempat Sukma atau Jiwa, memancarkan sinar manca warna ( bermacam-macam ) Dari ajaran sadulur papat, kalima pancer dapat diketahui betapa pentingnya Pasaran Kliwon yang tempatnya ditengah atau pusat ( sentrum ) tengah atau pusat itu tempat jiwa atau sukma yang memancarkan daya – perbawa atau pengaruh kepada " Sadulu Papat atau Empat Saudara ( unsur ) sekelahiran. (Walisongo: 2011)                             BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN   A.    Penerapan Aritmatika Modulo Dalam Perhitungan Pasaran Jawa Matematika sebagai ilmu dasar perlu mengkaji dan menelaah dasar-dasar ilmu hitung atau komputasi yang diterapkan dalam masyarakat untuk memperkaya pengembangan matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, sebagian besar masyarakat sering tidak menyadari telah menerapkan ilmu matematika. Sebagian besar masyarakat berpandangan bahwa matematika merupakan pelajaran yang diperoleh di sekolah. Padahal matematika sering digunakan dalam berbagai aspek kehidupan, misalnya dalam mengukur, menghitung, mengurutkan bilangan, beberapa kegiatan jual beli atau bahkan bisa digunakan untuk menghitung pasaran kelahiran seseorang. (Davit Setiadi : 2017) Pasaran adalah Kepandaian orang jawa dalam meramal dengan melalui perhitungan-perhitungan jawa yang telah dikenal sejak dahulu dengan berdasarkan kalender jawa dan kalender harian yang dibuat oleh Pemerintah. (Walisongo: 2011)  Dalam kebudayaan jawa pasaran sangat berpengaruh dalam kehidupan sehari-hari. Terdapat beberapa kegunaan pasaran diantaranya adalah sebagai hitungan dalam mencari hari baik saat akan melangsungkan pernikahan, untuk membangun rumah, pindah rumah atau untuk menentukan waktu khitanan. Pasaran dapat diketahui dari tanggal lahir seseorang. (Davit Setiadi : 2017) Dibawah ini merupakan tabel yang digunakan untuk menghitung pasaran seseorang. Bulan Tahun (Biasa/Kabisat) Bulan Tahun (Biasa/Kabisat) Januari 0/1 Juli 4 Februari 4/0 Agustus 3 Maret 1 September 2 April 0 Oktober 2 Mei 0 November 1 Juni 4 Desember 1 Tabel 1.1. Nama Bulan Sisa Pasaran Sisa Pasaran 0 Legi 3 Wage 1 Pahing 4 Kliwon 2 Pon     Tabel 1.2 Nama Pasaran L + M – B = S (mod 5) Rumus ketetapan:     Keterangan: L = jumlah tahun kabisat dalam satu abad yang bersangkutan di bagi 4 M = tanggal yang akan dicari pasarannya B = harga bulan untuk menentukan pasaran (Lihat tabel 1.1) S = sisa pembagian modulo 5 (Lihat tabel 1.2). (Walisongo: 2011) Contoh: 1.      Tentukan pasaran kemerdekaan RI tahun 1945? Jawab: L = (45 : 4) = 11,25 = 11 (pembulatan terkecil) M = tanggal = 17 B = harga bulan = 3 Maka: L + M – B = 11 + 17 – 3 = 25 (mod 5) Dimisalkan, a = 25 dan m = 5, dengan a = qm + r Maka, 25 = 5q + r, nilai terdekat perkalian 5 dari 25 adalah 5, sehingga q = 5. Diperoleh 25 = 5 x 5 + 0. Jadi diketahui, sisa dari 25 (mod 5) = 0. Karena S = 0, dapat diketahui bahwa pasaran kemerdekaan RI 1945 jatuh pada pasaran Legi. 2.      Tentukan pasaran kelahiran Adi pada tanggal 19 Mei 1996? Jawab: L = (96 : 4) = 24 M = tanggal = 19 B = harga bulan = 0 Maka: L + M – B = 24 + 19 – 0 = 43 = S (mod 5) Dimisalkan, a = 43 dan m = 5, dengan a = qm + r Maka, 25 = 5q + r, nilai terdekat perkalian 5 dari 43 adalah 8, sehingga q = 8. Diperoleh 25 = 5 x 8 + 3. Jadi diketahui, sisa dari 43(mod 5) = 3 Karena S = 3, dapat diketahui bahwa pasaran kelahiran Adi jatuh pada pasaran Wage.